Problema de Lógica Envolvendo Idades

Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu
tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades
será 63 anos.
Quantos anos eu e você temos?

Resolução

x - minha idade atual
y - idade atual da outra pessoa


                       Eu          Outra Pessoa
--------------------------------------------
Passado       y                   x/2
---------------------------------------------
Presente       x                    y
---------------------------------------------
Futuro            z                   x


Sabe-se que a diferença de tempo entre o presente e o passado são
iguais, desta forma temos:
x - y = y - x/2

Vamos isolar y:
2y = x + x/2

y = x/2 + x/4
y = 3x/4


Vamos trocar y pelo valor encontrado
                       Eu          Outra Pessoa
--------------------------------------------
Passado       y = 3x/4         x/2
---------------------------------------------
Presente       x                    y = 3x/4
---------------------------------------------
Futuro            z                    x


Sabe-se que a diferença de tempo entre o futuro e o presente são
iguais, desta forma temos:

z - x = x - 3x/4

z = 2x - 3x/4
z = 5x/4

Sabe-se também que a soma das idades no futuro é 63
z + x = 63
5x/4 + x = 63
9x/4 = 63
9x = 63*4
x = 7 * 4
x = 28


Vamos substituir
                       Eu                                 Outra Pessoa
--------------------------------------------------------------------------
Passado       y = 3x/4 = 21 anos         x/2 = 14 anos
------------------------------------------------------------------------------
Presente       x  = 28 anos                  y = 3x/4 = 21 anos
-----------------------------------------------------------------------
Futuro            z  = 5x/4 = 35 anos       x = 28 anos


Vamos ver se bate:
1) Minha idade atual 28 é dobro da idade da outra pessoa quando eu
tinha 21 anos, que é a idade da outra pessoa atualmente.
2) Quando a outra pessoa tiver a minha idade no futuro, ou seja, 28
anos, a soma das nossas idades será 63. (35 + 28 = 63). Confere.
3) Pode ver que se passa 7 anos entre o passado e presente e entre o
presente e o futuro.

A resposta é 28 (minha idade atual) e 21 anos (a idade da outra pessoa atual)

Parte 9 - Problemas com Várias Relações

Fonte: FGV - MEC - 2008 - Analista de Sistemas - Questão 18
Em um jogo, uma ficha preta vale o mesmo que 2 fichas azuis. Uma ficha azul equivale a 12 amarelas, 6 verdes equivalem a uma preta e 10 brancas, a uma verde. Dessa forma, uma ficha
azul equivale a:
(A) 1 verde e 1 amarela.
(B) 1 verde e 2 amarelas.
(C) 1 verde, 1 amarela e 5 brancas.
(D) 2 verdes e 2 amarelas.
(E) 2 verdes, 2 amarelas e 5 brancas.

p - preta
a - azul
y - amarela/yellow
v - verde
b - brancas

p = 2a
a = 12y
6v = p
10b = v

Olha, observe que são muitas variáveis, a ideia aqui é transformá-la em exemplos:

existem os multiplos: 2, 12, 6, 10
Vamos descobrir o MMC

2, 12, 6, 10  | 2
1,  6,  3,  5   | 2
1,  3,  3,  5   | 3
1,  1,  1,  5   | 5
1,  1,  1,  1    

2*2*3*5 = 60

Vamos supor que a ficha verde vale 60 reais. Com base nisto temos:
10b = v
10b = 60
b = 6

A branca valeria 6 reais

v = 60 reais
b = 6 reais

Vamos descobrir a preta pela expressão
6v = p
p = 6*60
p = 360 reais

v = 60 reais
b = 6 reais

p = 360 reais

Temos mais uma:

p = 2a

2a = 360

a = 180 reais

v = 60 reais
b = 6 reais

p = 360 reais

a = 180 reais

Agora a ficha amarela

a = 12y

12y = 180

y = 15 reais

Agora já temos valores compatíveis e fictícios para todas as fichas:

v = 60 reais
b = 6 reais

p = 360 reais

a = 180 reais

y = 15 reais

Para não haver erro, sugiro verificar se atende a todas as expressões:

p = 2a  ==> 360 = 2*180 (OK)
a = 12y ==> 180 = 12*15 (OK)
6v = p ==> 6*60 = 360 (OK)
10b = v ==> 10*6 = 60 (OK)

Agora não tem jeito, temos que olhar as respostas para verificar quanto vale a ficha azul.
a) 1 verde e 1 amarela ==> a = v + y ==> 180 = 60 + 15 (NOK)
b) 1 verde e 2 amarelas ==> a = v + 2y ==> 180 = 60 + 2*15  (NOK)
c) 1 verde, 1 amarela e 5 brancas ==> a = v + y + 5b ==> 180 = 60 + 180 + 5*6 (NOK)
d) 2 verdes e 2 amarelas ==> a = 2v + 2y ==> 180 = 2*60 + 2*15  (NOK)
e) 2 verdes, 2 amarelas e 5 brancas ==> a = 2v + 2y + 5b ==> 180 = 2*60 + 2*15 + 5*6  (OK) LETRA E

Parte 8 - Problemas Com Variáveis

Fonte: FGV - MEC - 2008 - Analista de Sistemas - Questão 25
Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na sala, as crianças correspondem a:
(A) 12,5%
(B) 17,5%
(C) 20%
(D) 22,5%
(E) 25%


1) A técnica para resolver estas questões é representar cada elemento do problema com letras

h - quantidade de homens
m - quantidade de mulheres
c - quantidade de crianças
t - total de pessoas

Agora, vamos interpretar as situações:
Situação 1) Em uma sala há homens, mulheres e crianças.

t = h + m + c

Situação 2)  Se todos os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos restantes. Ou seja, a quantidade de mulheres é igual a 80% da soma das crianças e delas mesmas, que é representado abaixo

m  = 0,80*(m + c)

Situação 3) Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam a representar 75% dos presentes na sala. Mesmo raciocínio.

h = 0,75*(h + c)

Pergunta Final) Com relação ao número total de pessoas na sala, as crianças correspondem a
c = x*(h + m + c), onde x representa o percentual

2) Então temos três expressões que importam:
m  = 0,80*(m + c)
h = 0,75*(h + c)
c = x*(h + m + c)

Identifique o que temos em comum em pelo menos duas expressões. Observou que se trata de c. .

m  = 0,80*(m + c)
m = 0,80m + 0,80c
m - 0,8m = 0,80c
0,20m = 0,80c
m = 0,80c/0,20
m = 4c

Agora a mesma coisa na segunda expressão
h = 0,75*(h + c)
h = 0,75*h +0,75c
h - 0,75h = 0,75c
0,25h = 0,75c
h = 0,75c/0,25
h = 3c


Agora a ultima expressão e substituindo com os resultados obtidos nos dois anteriores
c = x*(h + m + c)
c = x * (3c + 4c + c)
c = x * (8c)
x = c / 8 c
x = 0,125 = 12,5%

10      |    8
  20           0, 125
    40
      0

Parte 7 - Questões Que Se Resolvem Apenas com Bom Senso

Fonte: FGV - MEC - 2008 - Analista de Sistemas - Questão 29
Considere o conjunto A = {2,3,5,7}. A quantidade de diferentes resultados que podem ser obtidos pela soma de 2 ou mais dos elementos do conjunto A é:
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 15
(E) 17

Nem sempre para resolver uma questão é necessário saber fórmulas milagrosas. Se você não conhece a fórmula e verifica que a quantidade de testes são baixos, porque não tentar. Olha o caso acima, o segredo está em a soma de 2 ou mais elementos. 2 ou Mais de 2.
Faça um a um:
Com dois elementos:
2 + 3 = 5
2 + 5 = 7
2 + 7 = 9
3 + 5 = 8
3 + 7 = 10
5 + 7 = 12

Com três elementos
2 + 3 + 5 = 10
2 + 3 + 7  = 12
2 + 5 + 7 = 14
3 + 5 + 7 = 15

E por ultimo com quatro elementos
2 + 3 + 5 + 7 = 17

Olha a pegadinha, ele que saber a quantidades de DIFERENTES RESULTADOS. Opa!!!!

Vamos começar do menor para o maior:
5, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 17 (total de 9) .

Sempre tente, principalmente no final da prova.

Parte 6 - Regra de Três - Direta e Indireta

Fonte: TRF 4ª 2007 - FCC - ANALISTA JUDICIÁRIO - INFORMÁTICA
Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, são capazes de montar 100
aparelhos em 10 dias, ser funcionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, o número de
aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é
a) 100
b) 200
c) 400
d) 600
e) 800

Regra de Três também é participante de muitas questões em concursos e novamente a técnica ajuda muito mesmo a resolver este problema

1) O primeiro passo é ver quais são as variáveis, normalmente vem acompanhado de números.
a) 10 máquinas
b) 100 aparelhos
c) 10 dias de trabalho
d) 10 horas por dia

Na segunda etapa
e) ? aparelhos
f) 20 maquinas
g) 20 dias de trabalho
h) 20 horas por dia

2) O segundo passo é montar uma tabela com estas variáveis e colocar os valores

+----------+-----------+------------------+---------------+
| Máquinas | Aparelhos | Dias de Trabalho | Horas por Dia |
+----------+-----------+------------------+---------------+
| 10       | 100       | 10               | 10            | 1.a Situação
+----------+-----------+------------------+---------------+
| 20       | Aparelhos?| 20               | 20            | 2.a Situação
+----------+-----------+------------------+---------------+

3) O terceiro passo é comparar a coluna Aparelhos onde nós temos a nossa variável e também resposta do problema com as outras colunas e fazer as seguintes perguntas:
a) Se aumentar a quantidade de máquinas eu aumento a quantidade de aparelhos produzidos? Tem que ser isoladamente. A resposta é um sonoro sim, mais máquinas, mais aparelhos. Coloco uma seta na mesma direção.
+------------+-------------+------------------+---------------+
| Máquinas ↑ | Aparelhos ↑  | Dias de Trabalho | Horas por Dia |
+------------+-------------+------------------+---------------+
| 10         | 100         | 10               | 10            | 1.a Situação
+------------+-------------+------------------+---------------+
| 20         | Aparelhos?  | 20               | 20            | 2.a Situação
+------------+-------------+------------------+---------------+

b) Agora vamos comparar aparelhos (sempre o que nós queremos descobrir) com dias de trabalho. Mesmo tipo de pergunta: Se aumentar a quantidade de dias de trabalho eu aumento o número de aparelhos produzidos. É claro que sim, mais dias de trabalho irão produzir mais aparelhos. Desta forma vamos colocar outra seta no mesmo sentido de aparelhos em Dias de Trabalho.
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| Máquinas ↑ | Aparelhos ↑  | Dias de Trabalho ↑  | Horas por Dia ↑  |
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 10         | 100         | 10                 | 10              | 1.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 20         | Aparelhos?  | 20                 | 20              | 2.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+

c) Agora vamos comparar aparelhos (sempre o que nós queremos descobrir) com Horas por Dia. Mesmo tipo de pergunta: Se aumentar a quantidade de horas por dia eu aumento o número de aparelhos. É claro que sim, mais horas por dia de trabalho irão produzir mais aparelhos. Desta forma vamos colocar outra seta no mesmo sentido de aparelhos em Dias de Trabalho.

4) O último passo é isolar a variável e colocar todo o resto como multiplicação.

+-----------+----------+-----------------+---------------+
| Aparelhos | Maquinas | Dias de Trabalho| Horas por Dia |
+-----------+----------+-----------------+---------------+

    100           10           10                 10 

   ---- =       ----- *       ----- *            ----  

     x            20           20                 20

Simplificando fica

 100    1    1    1 

---- = ---* ---* ---

  x     2    2    2

x = 100*2*2*2 = 800 aparelhos.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

OUTRO CASO

Não foi o caso desta questão, mas se uma das setas fosse invertida, se aumentando diminuísse o número de aparelhos. Bastava inverter a fração. Para deixar mais claro, vou usar a mesma questão mudando a variável. 

Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, são capazes de montar 100
aparelhos em 10 dias, ser funcionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, quantos dias de trabalho seriam necessários para montar 800 aparelhos usando 20 daquelas máquinas e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25

+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| Máquinas    | Aparelhos    | Dias de Trabalho    | Horas por Dia    |
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 10         | 100         | 10                 | 10              | 1.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 20         | 800         | Dias de Trabalho?  | 20              | 2.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+

a) Usando a técnica. Se aumentar a quantidade de máquinas eu aumento ou diminuo os dias de trabalho? Claro, quanto mais máquinas eu tenho menos dias de trabalho eu irei demorar. Coloco a seta invertida na variável Maquinas. Aumento Diminuo

+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| Máquinas ↓ | Aparelhos    | Dias de Trabalho ↑  | Horas por Dia    |
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 10         | 100         | 10                 | 10              | 1.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 20         | 800         | Dias de Trabalho?  | 20              | 2.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+

b) Se aumentar a quantidade de aparelhos eu aumento ou diminuo os dias de trabalho? Claro, para produzir mais aparelhos eu vou precisar de mais dias de trabalho. Aumento Aumento. Coloco a seta na mesma direção.

+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| Máquinas ↓ | Aparelhos ↑  | Dias de Trabalho ↑  | Horas por Dia    |
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 10         | 100         | 10                 | 10              | 1.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 20         | 800         | Dias de Trabalho?  | 20              | 2.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+

b) Se aumentar a quantidade de horas por dia de trabalho eu aumento ou diminuo os dias de trabalho? Mais horas por dia, menos dias de trabalho. Aumento Diminuo, setá ao contrário.

+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| Máquinas ↓ | Aparelhos ↑  | Dias de Trabalho ↑  | Horas por Dia ↓  |
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 10         | 100         | 10                 | 10              | 1.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+
| 20         | 800         | Dias de Trabalho?  | 20              | 2.a Situação
+------------+-------------+--------------------+-----------------+

Agora isolamos a variável e multiplicamos tudo.

+-----------------+-----------+----------+---------------+
| Dias de Trabalho| Aparelhos | Maquinas | Horas por Dia |
+-----------------+-----------+----------+---------------+

    10               100           20                 20 

   ---- =          ----- *       ----- *            ----  

     x               800           10                 10

Observe, que tudo que estava com seta invertida da variável, ficou invertido também.

Simplificando

    10     1     2     2 

   ---- = --- * --- * ----  

     x     8     1     1

4x = 10*8 

x = 80/4 = 20 dias de trabalho. Letra D. 

Viu que legal, bateu exatamente com a primeira questão. 

Até mais

Pablo

Parte 4 - Transformar Base Decimal em qualquer Outra Base

Fonte: FGV - MEC - 2008 - Analista de Sistemas - Questão 26
No sistema de numeração na base 5, só são utilizados os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. Os números naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser também escritos nessa base como mostrado:

DECIMAL    BASE 5
0                    0
1                    1
2                    2
3                    3
4                    4
5                   10
6                   11
7                   12
8                   13
9                   14
10                 20
11                 21
De acordo com esse padrão lógico, o número 151 na base decimal, ao ser representado na base cinco, corresponderá a:
(A) 111
(B) 1011
(C) 1101
(D) 1110
(E) 1111

Vou ensinar como transformar a base decimal em qualquer outra base. A técnica é muito muito simples, mas se não tiver conhecimento dela, uma questão desta pode ser muito trabalhosa, imagine ir até o número 151 de 1 em 1.

1) Pegue o número na base decimal e divida por 5 (BASE DECIMAL 5) até encontrar como resultado o número 0. Veja abaixo:

151       |    5    
    1         30 (deu 30, ainda não é zero) |    5      
                 0                                              6      |    5      
                                                                 1           1 (Não é zero ainda)     |    5         
                                                                              1                                        0 (OPA DEU ZERO)

Pegue todos os restos de cima para baixo, eles estão em negrito:
1101  - Resposta Correta Letra C. Imagine errar uma questão tão simples por não saber isto.

Parte 5 - Novos Problemas

Seguem alguns desafios para quem adora lógica:
Todos passados por amigos.

Desafio 1)
Todos os dias saio do trabalho às 18 horas, compro o jornal e vou para
a estação do comboio, onde apanho o comboio das 18h30, que chega à
minha cidade às 19 horas.
Todos os dias, a minha mulher sai de casa e vai me buscar na estação
de carro às 19 horas, quando saio do comboio.
Um dia da semana passada, saí do emprego cinco minutos mais cedo e
consegui apanhar o comboio das 18 horas, que chegou à minha cidade
exatamente às 18h30.
Como a minha mulher não estava na estação, comecei a caminhar para
casa. A minha mulher saiu de casa à hora habitual, viu-me pelo
caminho,
deu a volta para me apanhar e fomos para casa, chegando 15 minutos
mais cedo que o habitual. Quanto tempo caminhei antes de a minha
mulher me apanhar?

Desafio 2)
Um pequeno estacionamento conta com oito vagas numeradas. Um muro
separa a vaga 4 da vaga 5, ou seja, as vagas 1, 2, 3 e 4 são anexas,
bem como são as vagas 5, 6, 7 e 8.

Quatro carros estão estacionados: um azul na vaga 3, um branco na vaga
4, um verde na vaga 5 e um amarelo na vaga 6.

O manobrista pretende trocá-los de lugar, de modo que fiquem
estacionado na seguinte ordem: verde na 3, amarelo na 4, azul na 5 e
branco na 6.

Ocorre que uma tempestade acabou de derrubar um galho de uma árvore,
que por sua vez caiu por sobre a fiação do poste que abastece a rede
elétrica do estacionamento. O fio elétrico caiu no pátio molhado do
estacionamento para desepero do manobrista.

Com medo de ser eletrocutado, ele decide rearranjar os carros sem
pisar no chão, ou seja, ao estacionar um carro numa das vagas, pulará
para o carro vizinho para continuar a manobrar.

Se uma manobra é considerada colocar o "carro tal" na "vaga tal", qual
o número mínimo de manobras que o intrépido manobrista precisará fazer
para realocar os carros em suas respectivas vagas, de acordo com o
plano?